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包含海伦公式python函数的词条

海伦公式是什么

1、先来看海伦公式:三角形面积S=√[P(P-A)(P-B)(P-C)],

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其中P=(A+B+C)/2

A、B、C表示三角形的边长,√表示根号,即紧跟后面的括号内的全部数开根号。

2、再来看海伦公式的变形(以下所有式中的^表示平方)

S=√[P(P-A)(P-B)(P-C)]

=(1/4)√[(A+B+C)(A+B-C)(A+C-B)(B+C-A)]

变形1

=(1/4)√{[(A+B)^-C^][C^-(A-B)^]}

变形2

=(1/4)√{(A^+B^-C^+2AB)[-(A^+B^-C^-2AB)]}

变形3

=(1/4)√[4A^B^-(A^+B^-C^)^]

变形4

3、画一个三角形(在这儿不好画,你自己画一个吧),三边分别为

A、B、C。A为底边。过顶点作与A垂直的高H,把A分成两部分X、Y

根据勾股定理可得以下三式:

X=A-Y

第1式

H^=B^-Y^

第2式

H^=C^-X^

第3式

根据第2、3式可得B^-Y^=C^-X^

第4式

把第1式的X=A-Y代入第4式并化简可得

Y=(A^-C^+B^)/2A

第5式

根据第2式可得

H=√(B^-Y^)

=√[B^-(A^-C^+B^)/4A^]

={√[4A^B^-(A^-C^+B^)^]}/2A

三角形面积S=(1/2)*AH

=(1/2)*A*{√[4A^B^-(A^-C^+B^)^]}/2A

=(1/4)√[4A^B^-(A^+B^-C^)^

]

这个等式就是海伦公式的变形4,故得证。

什么是海伦公式?

海伦公式的几种另证及其推广

关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有:

设△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,ha为a边上的高,R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径,p = (a+b+c),则

S△ABC = aha= ab×sinC = r p

= 2R2sinAsinBsinC =

=

其中,S△ABC = 就是著名的海伦公式,在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。

海伦公式在解题中有十分重要的应用。

一、 海伦公式的变形

S=

= ①

= ②

= ③

= ④

= ⑤

二、 海伦公式的证明

证一 勾股定理

分析:先从三角形最基本的计算公式S△ABC = aha入手,运用勾股定理推导出海伦公式。

证明:如图ha⊥BC,根据勾股定理,得:

x = y =

ha = = =

∴ S△ABC = aha= a× =

此时S△ABC为变形④,故得证。

证二:斯氏定理

分析:在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。

斯氏定理:△ABC边BC上任取一点D,

若BD=u,DC=v,AD=t.则

t 2 =

证明:由证一可知,u = v =

∴ ha 2 = t 2 = -

∴ S△ABC = aha = a ×

=

此时为S△ABC的变形⑤,故得证。

证三:余弦定理

分析:由变形② S = 可知,运用余弦定理 c2 = a2 + b2 -2abcosC 对其进行证明。

证明:要证明S =

则要证S =

=

= ab×sinC

此时S = ab×sinC为三角形计算公式,故得证。

证四:恒等式

分析:考虑运用S△ABC =r p,因为有三角形内接圆半径出现,可考虑应用三角函数的恒等式。

恒等式:若∠A+∠B+∠C =180○那么

tg · tg + tg · tg + tg · tg = 1

证明:如图,tg = ①

tg = ②

tg = ③

根据恒等式,得:

+ + =

①②③代入,得:

∴r2(x+y+z) = xyz ④

如图可知:a+b-c = (x+z)+(x+y)-(z+y) = 2x

∴x = 同理:y = z =

代入 ④,得: r 2 · =

两边同乘以 ,得:

r 2 · =

两边开方,得: r · =

左边r · = r·p= S△ABC 右边为海伦公式变形①,故得证。

证五:半角定理

半角定理:tg =

tg =

tg =

证明:根据tg = = ∴r = × y ①

同理r = × z ② r = × x ③

①×②×③,得: r3 = ×xyz

海伦公式又译希伦公式,传说是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式,利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的着作考证,这条公式其实是阿基米德所发现,以托希伦二世的名发表。

假设有一个三角形,边长分别为a、b、c,三角形的面积S可由以下公式求得:

S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

而公式里的s:

s=\frac{a+b+c}{2}

由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形,所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候,不用测三角形的高,只需测两点间的距离,就可以方便地导出答案。

[编辑]证明

与海伦在他的着作"Metrica"中的原始证明不同,在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C,则馀弦定理为

\cos(C) = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}

从而有

\sin(C) = \sqrt{1-\cos^2(C)} = \frac{ \sqrt{-a^4 -b^4 -c^4 +2a^2b^2 +2b^2c^2 +2c^2a^2} }{2ab}

因此三角形的面积S为

S = \frac{1}{2}ab \sin(C)

= \frac{1}{4}\sqrt{-a^4 -b^4 -c^4 +2a^2b^2 +2b^2c^2 +2c^2a^2}

= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

最后的等号部分可用因式分解予以导出。

海伦公式如何求三角形面积?

海伦公式:s=sqrt(p*(p-a)(p-b)(p-c))

假设在平面内,有一个三角形,边长分别为a、b、c,三角形的面积S可由以下公式求得:s=sqrt(p*(p-a)(p-b)(p-c))

而公式里的p为半周长(周长的一半):p=1/2(a+b+c)

扩展资料

计算半周长

s=(a+b+c)/2

计算面积

area=(s*(s-a)*(s-b)*(s-c))**0.5

print('三角形面积为%0.2f'%area)

用到了input输入,float类型转换。且根据三条构成条件使用while做循环判断,最后利用海伦公式,借助幂次运算函数完成了python的学习。

为什么python海伦公式不能用sqrt

虽然看起来sqrt(10)跟 10**05是一样的结果,但是实际上是有区别的。一个是开平方根,一个是乘方,最简单的,开平方根的那个数不能是负数,而负数的乘方运算是可以的。

求算三角形面积的海伦公式

只要已知三角形的三条边长,就可以求三角形的面积,公式:若已知三角形的三条边长分别为a、b、c,S=根号下p(p-a)(p-b)(p-c) (p为三角形周长的一半,即p=1/2(a+b+c))。

证明的核心在于内切圆与角、面积之间的关系。利用内切圆可以用两种方式来求三角形的面积,由此建立等量关系,最后可以整理出海伦公式。

扩展资料:

注意事项:

三角形的底就是其中一条边,通常指位于底部的侧边,高是从底边到三角形顶部最高点的长度。当从三角形的底边向对面顶点作垂线,画出的这条线段就是三角形的高。这些信息应该是已知的,或是可以通过测量得到的。

由于直角三角形的两条边是相互垂直的,因此一条直角边相对于另一条直角边来说就是三角形的高,另一条边就是底边。因此就算没有明确给出底边长和高,但如果已知两条直角边长,就相当于知道底边长和高。

参考资料来源:百度百科-海伦公式

python计算三角形面积

(1)首先需要知道三角形是如何根据三边的长度计算面积的,就需要知道海伦公式。

(2)定义三个变量,用于表示三角形的三条边。

a=input("请输入一条边a=")

a=float(a)

b=input("请输入一条边b=")

b=float(b)

c=input("请输入一条边c=")

c=float(c)

(3)引入海伦公式的计算方法,求取三角形面积。

s=(p*(p-a)*(p-c)*(p-b))**0.5

p=(a+b+c)/2

(4)最后写上输出语句,对三角形的面积进行输出。

(5)运行这个程序,就可以看到最终结果,这样就完成了。


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